结果很重要，偶尔也关注下过程。 通常，过程到最后的结果是自然而然的。
在线性化的比例导引制导系统中，现在一般都直接用伴随法得到拦截结束时刻 的脱靶量 ， 这里就是要看看中间的过程 或 。 当然是求闭形式解析解（closed-form solution）， 其实数值积分解更简单，而且以现在计算机的运算速度，伴随仿真必要性并不大， 不过伴随的理论及其在算法设计中的应用更重要。
线性比例导引制导系统
上图是一般的线性化比例导引制导系统及其伴随系统的框图， 其中 表示一般的稳定传递函数，可能包含导引头动力学、噪声滤波、飞控系统等环节； 通常 可以表示成如下形式
即 是由 个一阶环节和 个二阶环节组成， 、 和 为各环节特征参数系数，无量纲的正数。
这个制导系统框图中包含时域和频域的混合描述，在做等效变换时需要格外小心。 比例导引制导系统及其伴随系统的微分方程可以参考Zarchan的《Tactical and Strategic Missile Guidance》。
零阶比例导引制导系统
零阶比例导引制导系统对应制导系统及其伴随系统的框图中环节 。 零阶比例导引制导系统及其伴随框图如下所示 
为了仿真方便，通常会消去纯微分环节，可以利用视线角导数
此时制导系统回路框图如下 
零阶比例导引制导系统（框图中原系统）的状态空间描述为
记状态向量为
输入向量
输出
则状态方程 可以写成如下形式
其中
状态方程 中，状态初值为 ，输入分量均为脉冲函数（Dirac ）， 方程 等价于如下状态方程
此方程中控制输入为 ，但是状态初值不为 。
很容易得到零阶制导系统 或 解析解（closed-form solution）：
输出 表示导弹目标在 方向上距离，可以明显看出由两部分组成，分别是由初始瞄准角偏差 和目标阶跃机动 引起的。显然脱靶量 为零，而且由初始瞄准角偏差 和目标阶跃机动 各自引起的脱靶量都是零。
大多数教材中（包括Zarchan那本）都没有构造零阶制导系统的伴随，一个是零阶系统很容易得到其解析解，没必要进行伴随仿真了；再一个就是零阶系统的伴随存在奇异。
零阶系统伴随构造的框图在这，对应于状态空间方程 或 ，可以构造其伴随系统的状态空间实现
其中表示伴随状态向量，为伴随输入向量，为伴随输出向量，各向量维数由相应系数矩阵确定。对于一般的状态空间方程 和 之间有如下关系
这个等式其实是伴随定义式，可以用来解释伴随仿真结果与原系统仿真结果之间关系。比如系统 和 ，它们状态初值都是零，系统 的输入 为Dirac 函数，如果在伴随仿真中选取控制输入 ，由 和 函数性质，容易得到
或者利用系统 和 ，原系统 的输入 为零，但是初值 不为零，如果在伴随仿真中选取控制输入 ，同样由 和 函数性质，容易得到
也可以在伴随仿真中选取控制输入 ，伴随状态初值 ，同样由 ，容易得到
所以伴随系统还可以写为下面形式
由于原系统 或者 特殊的矩阵系数，即分量都是 的函数形式，所以构造出的伴随系统 或者 的系数矩阵都是只显含 ，不显含 ，伴随仿真输出的每一个时刻 都可看作是 ；这样，通过一次伴随仿真就可以得到原系统在不同 时的脱靶量 。
对于零阶制导系统，利用伴随构造框图或者状态方程 ，把伴随系统写成分量形式
式 不存在解的，只需看前两个方程即可，显然， 是奇点，而且是正则奇点， 对第二个方程求导，经过简单代换可得
其通解为
但是对于正常的有效导引比 ，无法找到通解待定系数 、，满足式 前两个方程的初始条件的。 按照伴随仿真理论， 是初始瞄准误差角引起的归一化脱靶量，应该恒为0，这样看来 通解的待定系数 、 都应该为0， 但是却不满足伴随方程 的初值条件 。如果认为有解的话， 应该是在 处 、 在 时 的这么一个函数，这是一个阶跃函数吗？
其实，伴随仿真理论是没有问题的，只是在推导或应用时，没有特殊考虑系统含有奇点的情况。很显然，比例导引制导系统（原系统）在 处奇异， 是原系统的奇点，而 是相应伴随系统的奇点。对于奇异的系统，原系统有解，相应伴随系统未必有解。大多数教材侧重制导原理和仿真，不会强调奇异的问题，系统出现奇异时往往需要特殊处理，通常需要利用幂级数，因为奇异的定义与是否解析有关。
关于伴随仿真，Zarchan教材中都是在伴随时间上增加一个小量，这样零阶伴随仿真实际上是如下系统
其中 是小常量，该方程解为
可以看出，当 足够小， 是接近于0的。伴随仿真得到的脱靶量结果也是符合原系统结果的。
更喜欢另外一种伴随仿真处理方法，即伴随系统的输入选为 ，在 时刻加入的脉冲输入，而不是。 是小常量，伴随仿真的区间为 。这样零阶伴随仿真实际上是如下系统
该方程解为
这样处理后伴随仿真结果意义更明显， 表示原系统在飞行时间为 时，初始瞄准误差 引起的 方向距离偏差（归一化）在 时刻的值，即
这可以由伴随仿真的解释得到，也可以通过对比 与原系统的解 直接验证。对比式 与式 可以看出，这两种增加小量伴随系统的解很接近。
在Zarchan那本教材中，零阶增强比例导引和一阶最优制导系统，这两种情况的伴随系统应该也都没有解。通过增加小量这种伴随仿真是可以得到合理的近似结果。Zarchan教材里给出了最优制导的伴随仿真结果，理论上脱靶量随着飞行时间的曲线恒为0，但是伴随仿真结果曲线在0时刻附近有明显不为0的一段， 这是增加小量进行仿真的结果，还是仿真步长、数值积分导致的误差？
一阶比例导引制导系统
一阶线性比例导引制导系统回路框图如下
对应一般的制导系统及其伴随系统的框图中环节 为
或者将视线角导数展开，数学上等效如下框图
其中 为一阶飞控系统的时间常数。 这里输入只考虑目标在初始时刻作阶跃机动，即常值加速度机动 ，和初始瞄准误差 初值。 如图，一阶比例导引制导系统状态选为 、、，则状态方程可写为
记状态向量 ，输入 ，则上述系统可以用如下矩阵形式的状态空间描述
其中
或者
通常分零状态响应和零输入响应来分析线性系统，这样更方便分析，比如归一化或无量纲化，对于零输入响应（），只考虑初始状态 的响应，无量纲化如下：
则通过简单求导运算可得
同理，对于零状态响应（），只考虑常值目标机动加速度输入 ，则状态方程各状态、输入的无量纲化为：
则通过简单求导运算可得
将无量纲化的方程 、 与原方程 对比，可以看出方程形式一样，只是消去了一阶系统的时间常数 这一参数，意味着利用无量纲化的结果可以直接得到不同时间常数 的结果。所以，后文中将仍使用原来的符号（不带 的）来表示无量纲的量：
无量纲化或归一化后输入 和初始状态 都是单位1，这里只是保留符号标识，便于理解求解过程。需要强调的是无量纲化或归一化的过程是对不同的初始状态和不同的输入分别进行的，当得到无量纲的结果后，恢复为有量纲的结果时需要按照各自过程进行。
相对位置
下面讨论一阶比例导引制导系统 的解， 先看无量纲的弹目距离 方向分量 ，顺便得到无量纲的脱靶量 。 Zarchan那本教材中是直接利用伴随法来得到脱靶量 ，并没有求 。 这里就是从正面求解 。
首先，明确 是整个制导飞行总时间，由弹目初始相对距离和相对接近速度决定，在方程 中是一个常量参数，时间变量 ，这里考虑的都是无量纲的量。
其次，作为一个抽象出来的数学方程， 在 是没有定义的，是奇异的，需要特殊处理， 可以定义为 在 处的左极限。另外， 作为一个整体出现在方程中，书写和表达都不方便，而且奇异点通常考虑等价变换到0处，这可以通过变量替换来完成
最后，需要一些数学知识储备和直觉，比如方程 中状态 可以用一个二阶线性微分方程来描述，二阶线性微分方程有很多特殊的性质，有很多特殊形式的二阶线性微分方程被广泛研究应用，以及通常利用幂级数法来研究含有奇异点的微分方程。这些虽然也不是那么直接，但是面对这样一个微分方程，伴随法显然不是最自然能想到的，况且伴随并不能得到整个制导过程中的 。
按照上述思考过程，先得到 的二阶线性微分方程描述，由 可得
将式 与式 两边相减，可得
将上式两边同时积分，注意到 是常值，容易得到
其中积分常数 可以由初值确定，。然后由式 和式 消去 可得到
为了便于描述和书写，将上面微分方程奇异点从 等价变换到0处， 利用式 进行时间变换，引入新的状态变量 ，定义为
则由 和 可得到
将这些变量代入式 ，可得到关于 关于 的微分方程：
以及初始条件（终端、边界条件）
方程 是典型二阶非齐次线性常微分方程，其对应的齐次方程为
或者
方程 通解可以表示为
其中 是方程 的一个特解， 和 是相应齐次方程 的两个线性无关的解（基础解系）。 和 是常值待定系数，如果得到了 、、，则利用条件 可以确定 和 。
很容易确定一个特解 ，通过观察方程 ，可以先假设 是 的二次函数，然后代入 确定系数，这样可以得到 的一个特解为
这里有个问题， 时该如何处理这个特解，后文会提到，其实 不是我们需要的结果，最终关心的是 ，求极限即可 。当然，对于应用分析， 的取值一般在 ，通常也不需要考虑 的情形。
所以，剩下的问题主要是寻找二阶齐次常微分方程 的基解 和 。 方程 是一类被广泛研究的二阶常微分方程，具体地，按照集合包含关系从大到小，方程 可以属于下列分类：
- 含有奇点(正则，非正则)的二阶常微分方程。标准求解参考Frobenius方法、Fuchs定理。
其中 、 可以表示为如下形式
- Hypergeometric equation，超几何方程，或者Gauss's hypergeometric equation
- Confluent hypergeometric equation，合流超几何方程，或者degenerate hypergeometric equation，或者Kummer's equation
- Laguerre equation，associated Laguerre equation
这些方程是应用数学、特殊函数、数学物理方法中的经典内容，这里只在求解方程 过程中遇到的时候作简要说明。这些方程都可以在复数域内讨论，考虑到制导问题的求解，后文将只在实数域内描述、讨论和求解。
由Frobenius方法和Fuchs定理，方程 存在如下幂级数形式的线性无关的解
其中 、 和 都是待定的常系数，可以将 代入方程 来得到系数的递推关系，但是这里我们不需要这样做，特别是解 ，利用特殊方程的结果可以直接得到。
方程 是给定参数的合流超几何方程或Kummer方程，对应Kummer方程 里的参数为 ，。问题来了， 是一种特殊情况，当 不是非正整数时，即 ，合流超几何函数（Confluent hypergeometric function）或Kummer函数就是Kummer方程 的一个解。合流超几何函数或Kummer函数通常记为 或者 或者 或者 等等，这里统一使用 。 的定义如下
其中 是Pochhammer记号，即
可以验证 是方程 的一个解。而且显然当 时， 是未定义、无意义的，但是这时可以通过简单变换仍利用函数 给出方程 的一个解，引入变量 ，变换如下
代入 可以得到关于 的微分方程
可以看出，这仍是一个Kummer方程，只是参数变为 ，。 而且，只要 ，即 时， 可以直接得到方程 的一个解为 ， 也就是说此时可以得到原Kummer方程 的一个解为
总结一下，就是当参数 不是整数时，可以直接得到Kummer方程 的两个线性无关的解
当参数 是正整数时，可以直接得到Kummer方程 的一个解为
当参数 是非正整数时，可以直接得到Kummer方程 的一个解为
当 为整数时，利用Kummer函数 可以得到Kummer方程 的一个特解， 为了得到更统一（适用于任意参数 ）特解，也为了得到一般情形下Kummer方程的另一个线性无关的特解， 引入了第二类合流超几何函数或者Tricomi函数，通常记为 或者 或者 等等，这里统一使用 。
第二类合流超几何函数 的定义比较麻烦， 确保对任意的参数 和 都有定义， 通常， 的定义借助 来表达，如下表， 是关于参数 和 的条件函数。 定义中还用到了Gamma函数 和 Gamma函数的对数导数Digamma函数 。
与 类似， 也是Kummer方程 的一个特解，有很多特别的性质。但是 存在与 明显不同的两个性质：
- 对任意的参数 和 在 处都有定义，而 只在 时有定义；
- 对任意的参数 和 ，在 处，下式恒成立
而且，当 有定义时，即 时， 与 的线性相关性由参数 决定， 具体的，当 时， 与 线性无关；当 时， 与 线性相关。
所以，Kummer函数 、、第二类合流超几何函数 与Kummer方程 的解之间的关系可以总结为
- 当 不是整数且 不是非正整数时，即 ， ，则 、 是Kummer方程 的一组线性无关的解，、 也是Kummer方程 的一组线性无关的解。至于 与 是不是线性相关，取决于 是不是非正整数，当然这也不重要，因为已经找到线性无关的解了。
- 当 不是整数且 是非正整数时，即 ， ，则 、 是Kummer方程 的一组线性无关的解， 与 线性相关。
- 当 是正整数且 不是非正整数时，即 ， ，则 、 是Kummer方程 的一组线性无关的解，而 没有定义（， ）或者与 重复（）。
- 当 是正整数且 是非正整数时，即 ， ，则 是Kummer方程 的一个解， 与 线性相关，而 没有定义（，）或者与 重复（）。
- 当 是非正整数且 不是非正整数时，即 ，，则 、 是Kummer方程 的一组线性无关的解，而 没有定义。
- 当 是非正整数且 是非正整数时，即 ，，则 是Kummer方程 的一个解， 与 线性相关，而 没有定义。
可以看出，对任意参数 和 ，在 、 和 这三个函数中，至少有一个是Kummer方程 的解，而且 肯定是方程一个解；对于大多数情形，从 、 和 中可以直接选出两个作为Kummer方程 的基解。通常选择 或者 ，因为其定义比 更简单直接，有了一个解后，可以利用常数变易法或Frobenius方法去求Kummer方程 另一个线性无关的解。
回到一阶比例制导系统中需要求解的方程 ， 对比Kummer方程 ，显然，方程 是参数为 、 的Kummer方程。 参考前面Kummer函数 、、第二类合流超几何函数 与Kummer方程 的解之间的关系分类情形，参数 是非正整数，只需讨论 是不是非正整数，如果有效导引比 取值在正常范围内，即 ，只需要讨论 是否是整数即可。
- 当 不是整数时，可以利用前面关于Kummer方程解的讨论情形5的结果，得到方程 存在如下两个线性无关的解
- 当 是整数时，可以利用前面关于Kummer方程解的讨论情形6的结果，可以直接得到方程 存在一个解
显然，当有效导引比 取值在 时，解 都是方程 的一个解。 有了这个解后，可以尝试利用常数变易法得到另外一个线性无关的解：
这里 对应于方程 中一阶导数项系数，即 ，所以
此式中 的零点需要特殊处理，不过 在这些零点处依然有意义，可以在这些零点处进行幂级数展开，最终差不多得到幂级数和类似于 这样的表达式，仍然有定义的。所以式 一般不会用于数值计算，只用于理论推导，比如下面不太严格地求解脱靶量 。
有了 、 及 ，即式 、 和 ，再利用初始条件 ，就可以确定解 中系数 、。
作为演示，只考虑初始瞄准误差 ，即令 ，由初始条件 可得
由此可解出
在求脱靶量时，不需要 ；求解 的过程中可能会用到Kummer函数如下性质
而且需要假设 ，然后利用连续性即可（假装显然）。
最后根据变换式 可知脱靶量 ，由 表达式 可以看出 只与 有关，即
这里就要拿出大杀器-- l'Hospital法则（洛必达法则），结果就是
即脱靶量
这结果就是由初始瞄准误差 引起的脱靶量，对于 中任意值都成立，无论整数还是非整数。 上面推导过程很多地方不严格（或不那么明显严格），但是确实得到脱靶量一般的结果。 但是 表达式 中的积分很难积出或展开，也不便于数值计算， 所以这里得到的脱靶量只能算是常数变易法尝试求解的副产物。
下面给出更严格的推导，特别是 ，便于直接运算，而不需要数值积分。 仍然是针对 为非整数和整数分别进行讨论。
当 不是整数时，方程 的通解可以由 完全描述，其中用到的Kummer函数和Tricomi函数有广泛研究应用和成熟软件程序。此时求解 及 的过程与前面类似，只是 、 及 由式 和 所确定，再利用初始条件 ，就可以确定解 中系数 、。 这里与前面常数变易法的过程相同，只是方程 基解中 是不同的， 前面常数变易法中得到 是 与一个不定积分的乘积 ， 而这里 直接采用第二类合流超几何函数 。这样，方程 的通解 中系数 、 结果也与前面常数变易法中得到的不同。
这个二阶线性方程组的系数矩阵为
矩阵 的行列式为
这其实是解 、 的Wronskian行列式 在 处的值
对于一般的二阶微分方程 的两个解 、，可推导得到其Wronskian行列式为
对应于方程 ，，所以只要求出 时 的值，就可以确定 。对于具体的 、 由式 给出，可以利用Kummer函数和Tricomi函数的定义及性质得到 为
其中 表示 函数，由于 不是整数， 是有意义的非零值，，
还可以利用 函数性质
进一步简化得到
此式对于 是整数也是成立的，因为由式 给出的 、 在 是整数时是线性相关的，它们的Wronskian行列式应该为0。 回到 不是整数的情形， 的行列式为
很容易写出 的逆，从而得到 、 为
此式就不再继续展开了，因为利用Kummer函数 、第二类合流超几何函数 以及 函数很容易进行数值计算，这样就得到 、 的具体值。则在整个制导飞行过程中导弹目标在 方向上距离 可以通过如下公式计算
这个式子可以利用成熟的特殊函数软件工具进行计算，很方便，不需要Runge-Kutta那样数值仿真了。 需要强调的是用式 计算 只适用于 不是整数的情形。
前面得到了 ，然后代入 ，很容易得到 不是整数时一阶系统的脱靶量 ，显然
先利用式 把 的表达式写出来
由于线性系统以及归一化的区别，这里还是分别讨论由初始瞄准误差 和目标阶跃机动 引起的脱靶量。当 时，只考虑初始瞄准误差 ，可得到 为
其中 由式 给出；为了便于符号推导，引入了 ，。 当 时，只考虑目标阶跃机动 ，可得到 为
最后一步用到了Kummer函数 的另一性质
总结一下，考虑由初始瞄准误差 引起的脱靶量时， 为
考虑目标阶跃机动 引起的脱靶量时， 为
利用第二类合流超几何函数 的性质
可以得到式 中极限
这样，式 中所有量都得到，也就严格求出了 不是整数时一阶系统的脱靶量 ：
初始瞄准误差 引起的脱靶量（归一化）为
目标阶跃机动 引起的脱靶量（归一化）为
前面我们限制 ，所以只区分 是非整数和整数两种情形来讨论，如果单从解方程角度， 可以是任意值，方程 都有解，而且从上面严格推导过程中可以看出，得到的解 （式）、（式、）对于所有的非正整数的实数 ，即 ，都是成立的。
其实，利用方程 的解 、 关于参数 的连续性，可以进一步得到 是正整数，即 时，方程 的解 、。方程 的解 、 关于参数 的连续性，涉及到更基础的问题，常微分方程的解的存在唯一性、常微分方程的解关于参数和初值的连续性等，通常需要验证相关函数的Lipschitz连续性质，不过可以利用已得到的解计算 在正整数附近时的结果曲线趋势，可以直观上看出是趋于 为正整数时的结果（由Runge-Kutta仿真得到）。
尝试一下，利用方程 的解关于参数 的连续性，由 不是正整数时的解 、 来求极限得到 是正整数时的解。首先考虑脱靶量 ，这个简单， 是正整数时的脱靶量表达式仍是式 和 ，这是因为对于任意 和 ，Kummer函数 关于 是整函数（entire function）。
比较麻烦的是求 为正整数时的 ，或者等价的 。当 不是正整数时， 由式 给出，其中 和 由式 给出， 由式 给出，系数 、 由式 确定，前面已经得到 的表达式 、，现在还是要把 的表达式写出来，作为示例，只考虑由初始瞄准误差 引起的输出结果 ，此时 ， 由式 可得 为
其中用到了第二类合流超几何函数 的递推性质
这样，由初始瞄准误差 引起的输出结果 为
其中用到了第二类合流超几何函数 的定义性质 。
对于任意正整数 ，需要计算如下极限
由式 形式，先考虑 ， 的情形，此时 取值在 附近，利用 函数如下性质
式 可以写成如下形式
利用 、、 的下列性质
容易验证式 在 时是 型极限，所以再次请出大杀器l'Hospital法则，即
为了书写简洁，引入函数
并利用 函数性质
其中 为Euler常数；这样可以得到
由 、 关于参数 是整函数，所以这个极限肯定是存在的。问题来了，对于初等函数求导运算很容易，但是像 、、 等等特殊函数对于其自变量或参数求导运算就不那么容易了，甚至很难。比如利用Digamma函数 来描述 函数的导数
以及Polygamma函数 。式 当中的 可能会表示为含有Digamma函数以及Polygamma函数的形式。
现在回到当 为大于 的正整数，即 时，式 的极限计算。 由式 与 可知，只需要计算如下极限
首先验证在 时 值为零，这个可以由 的下述性质直接得到
其实， 和 都是 次多项式。另外，在 时，，所以极限 可写为
这又是 型极限，可以再次请出l'Hospital法则哈哈。 先说明一下 函数表示 的倒数，同时补充如下定义
函数 是整函数，其导数为
利用 和 的反射性质
容易得到
到这发现不需要这么麻烦了，直接利用 的反射性质
则式 的极限为
这个极限肯定是存在的。这里又出现 ，其大概形式，在后面讨论Frobenius方法时会看到，具体就不推了。从这个极限可以得到下面这样一个性质
这是个很具体的性质，一个是关于 、 之间乘积，另一个是关于参数的，其实是下面这个恒等式
以及对参数的导数。归根结底是函数 、 对参数 的导数，算是一个应用算例了。
上面是利用特殊函数 、 得到了在 不是正整数时方程 的解，在 为正整数时，讨论比较繁琐。实际上， 函数比较简单， 的定义就是比较复杂，只是利用特殊函数的符号使表达更简便，计算也容易，如果考虑将 函数展开，反而不如利用Frobenius方法更直接，表达式可能更简单。
下面就用Frobenius方法、Fuchs定理来求一下方程 ， 关于Frobenius方法、Fuchs定理具体描述是什么就不说了，这里直接应用推一下结果。 由前面关于Kummer方程的讨论可知，方程 存在如下一个特解
其中
是Kummer函数 展开幂级数的系数，便于后面推导表达式简化。
再由Fuchs定理，可知方程 存在另一个与 线性无关的特解，形式如下
其中 和 是待定系数， 由 确定。可以将 代入方程 来确定系数 和 ，结果如下
先把上式中包含 那部分整理一下，记
其中 为 幂级数系数
则式 可写为
由幂级数恒等条件可得到
首先 可以是任意的非零实数，通常取为 ，
则 则由式 随之确定
然后针对要求解的方程， 可以取任意的实数，这里简单设为
当 大于 时， 可以由式 递推得到
所以，由此递推可确定系数 。式 中 可以取任意的实数，如果选择恰当，或许可以简化递推关系。
由递推关系 可以进一步得到 的通项
由前面 ，所以包含 那一项为零，之前说过 为任意数，相比于 ，当 不为 时，最终的 表达式 中会多出一项 ，对于要找到一个与特解 线性无关的解 ，增加一个 线性组合项本质没有差别，所以 还是合适的。 另外，当 是正整数时，编程计算时需要小心， 那一项并不奇异，因为 中包含 。
最后整理一下，方程 存在如下两个线性无关的特解
其中 为
而且这两个特解对任意实数 都成立。
前面讨论过，当 不是正整数时，式 是方程 的两个线性无关的解，又由式 可知， 也是方程 的一个特解，所以， 可以表示为 与 的线性组合，结果如下
这里需要利用前面的第二类合流超几何函数 的定义。
当 不是正整数时，把 按定义展开得到
把式 中 展开得到
再利用 函数的递推性质
可得到
所以，由式 、 和 可以直接得到式 。因为 ，在 为正整数时， 与 线性相关了。
这样，可以看出式 是方程 的两个线性无关的特解，且对任意实数 都成立，形式上更统一。同样的过程，可以利用式 、式 和式 可以确定式 中 的待定系数 、。
首先两个线性无关的特解 的Wronskian行列式为
则待定系数 、 为
因为 简单，所以很容易得到 的表达式，参照 和 ，初始瞄准误差 和目标阶跃机动 对应的 分别为
和
此时 ， 也就是相应的归一化脱靶量。同样，作为示例，求一个只考虑 ，即 时的 的结果，没化简出来，肯定是可以求的，有些繁琐就不列了。另外，当 时，方程 的特解 是奇异的，这时需要对 取极限。
最后还是想说一下 时这一特殊情形，相应的，此时会得到关联Laguerre方程（associated Laguerre equation）。关联Laguerre方程是一类特殊的合流超几何方程。这里需要先对最初的齐次方程 作式 中的变换
代入 可以得到关于 的微分方程
这里变换 是有物理意义的
即 等同于视线角 :
当然，这个变换只是对齐次方程的，并不是视线角的微分方程，只要解出 或 ，就很容易写出视线角的结果。
关联Laguerre方程 存在一个多项式的特解，即关联Laguerre多项式
显然， 是一个 次多项式，本质上与Kummer函数 相同，只差了一个系数，在 时， 确实是 次多项式。
前面利用 得到的结果，在 为正整数时同样适用，而且可以简化为特殊形式，即关联Laguerre多项式 。
关于 的方程 对应于关联Laguerre方程 中参数是 、，也就是方程 有如下特解
则方程 有如下特解
由于 与Kummer函数 有着基本相同的性质，前面的推导基本不变，可以得到 为正整数时的脱靶量为
和
这就是很多文献中提到的脱靶量关于飞行时间 的闭合形式解中含有多项式部分。
回来说一下脱靶量的一些特点或性质。首先是观察脱靶量表达式形式，从式 、、、 可以看出最终脱靶量都是在零控脱靶量基础上乘以一个指数衰减系数，比如，由初始瞄准误差 引起的脱靶量（归一化），其零控脱靶量部分是 ，指数衰减系数部分是 ；由目标阶跃机动 引起的脱靶量（归一化），其零控脱靶量部分是 ，指数衰减系数部分是 。指数衰减系数部分通常是幂级数形式，对于 为正整数这种特殊情形是多项式。可以认为比例导引就是使零控脱靶量衰减趋于零的控制器，也符合从控制的角度来解释比例导引制导律。另外就是指数衰减系数部分的零点，这可以由Kummer函数 的零点性质直接得到，即当 和 是实数时， 有有限个实零点，特别的，当 时， 的正实零点的个数为
其中 表示向上取整，即 。所以对于前面得到的脱靶量，当 时， 的正实零点的个数为 ， 的正实零点的个数为 。当 是正整数时，可以利用Laguerre正交多项式的零点性质。其中 的零点位置对应着目标最优逃逸机动的切换时刻。
指令加速度
前面求解一阶制导系统导弹目标相对位置 以及脱靶量 ，通常不考虑禁飞区、地表高度等过程约束时，不关心 ，只关心 ；但是对于指令加速度 ，我们则关心整个制导飞行过程中的水平，因为存在可用过载的约束。
比例导引指令加速度为
其中视线角速度 由式 确定。首先将 、 和 进行类似式 、 的归一化，然后推导归一化后的指令加速度 的微分方程。
两边同时乘以 后再求导可得
代入制导系统方程
得到
这里 是常值，再由一阶环节
对式 两边求导可得
利用式 和 消去 ，整理可得到如下关于 的微分方程
初始条件为
利用 ，把方程 奇异点变换到 处，为此，引入
可得到 关于 的微分方程
初始条件则为
方程 是二阶线性非齐次的，很容易得到其一个特解为
方程 所对应的齐次方程为
该方程仍然是合流超几何方程（Kummer方程），一个特解为
另一个线性无关的特解具有如下形式
最终方程 的解为
关于待定系数 、、、 的求解，可以参考前面小节中 的求解，方法过程是一样的，这里就不重复了，而是直接利用已经得到的 或 来得到 。
由 和 可以得到
其中
其中 、 由 给出， 由 给出，、 由 可得到。将 代入 可得
这里 、、 都是指 中的系数。可以很容易验证式 中 满足其通解式 。
从式 可以直接看出一阶比例导引制导系统的加速度指令是发散的，因为
而且发散速度等同于 ，至于指令加速度 最终趋于 还是 ，取决于系数 ， 的表达式中含有 ，通常忽略 这种概率为零的瞎猫撞上死耗子情况。因为加速度指令发散，所以必须考虑指令饱和的影响。
关于比例导引指令加速度这个解，应该出现在Guelman的报告"On the Divergence of a Proportional Navigation Homing System"中，这篇报告比较早，是以色列的国防报告吧，谁找到了可以给我看一下哈。
伴随系统的解
一阶制导系统及其伴随回路框图如上图所示，这里仍然只考虑目标在初始时刻作阶跃机动，即常值加速度机动 ，和初始瞄准误差 初值，即式 - 所描述的系统。其中原系统框图中的符号意义同前面，这里最好不要标上 ，容易混淆。 与前面类似，伴随微分方程也可以转化为特殊函数方程，从而直接得到解，而不需要利用Laplace变换来求解。
图中的纯微分环节一般先通过数学上等效变换去掉，可以利用系统方程展开，也可以合并到其它环节的传递函数中。 同样，也可以对伴随系统进行无量纲化或归一化
最终无量纲化的一阶伴随系统的等效框图如下图所示。
图中符号都表示归一化的变量， 和 都是 ，所以目标阶跃机动 和初始瞄准误差 引起的归一化脱靶量分别是 和 。利用上图很容易得到伴随系统微分方程：
这个微分方程组的初值设置需要用到本文最前面关于伴随仿真的解释。另外，这个方程组在 处是奇异的，但是初值也恰好是在 处，所以这里存在极限过程，对于求解微分方程组来说，先不考虑初值，得到在 区间上的通解，然后令 取极限并结合初值条件解出通解的待定系数。
利用 可以推导得到关于状态分量 、、 和 各自的二阶微分方程，结果如下。
关于 的二阶微分方程：
关于的二阶微分方程：
关于的二阶微分方程：
关于的二阶微分方程：
上面这四个方程有共同形式，都很接近Kummer方程（合流超几何方程），只是一阶导数项的系数中 差了一个符号，这可以通过简单的变量代换将四个方程都转化为Kummer方程。这里以求解 为例，因为得到 后，由 可以对 多次求导得到 、 和 。
有两种方式可以将方程 变换为Kummer方程：
则
将 代入 ，可得到 关于 的如下微分方程
这显然是参数为 ， 的Kummer方程，由前文关于Kummer方程的解的讨论可知，方程 存在如下特解
为了完全解出带有初值条件的方程 ，通常需要给出另外一个线性无关的特解（Fuchs定理），但是这里就不需要了，因为这个特解 已经满足初值条件 。但是，哈哈哈，单独看带有初值条件 的方程 ，是有无穷多个解的，因为对任意常数 ，
仍然是方程 的解。但是，考虑 中四个方程作为一个整体系统，解其实是唯一的，这可以由 的初值确定，最终得到
所以
则
将 代入 ，同时消去 ，可得到 关于 的如下微分方程
这仍然是一个Kummer方程，对应参数为 ，，存在如下无穷多个特解
都满足初值条件 ，因为方程 也是奇异的，这时需要利用二阶导数 的初值确定，最终可得到
所以
这里用两种简单的变换，得到方程 的两个解 和 。解 是纯幂级数形式，解 是 指数与幂级数乘积形式，这两个解只是形式不同，其实是等价的，可以把 展开幂级数计算乘积或者由Kummer函数的Kummer变换性质直接得到
对比目标阶跃机动 引起的归一化脱靶量 与伴随仿真输出 ，可以看出的确伴随仿真得到了脱靶量曲线。伴随仿真有很多性质，一次仿真可以得到不同输入（、）引起的脱靶量结果（、），而且利用伴随方程，很容易看出脱靶量之间的关系，比如 。总之，伴随法还是很elegant、tricky、subtle的，但是利用伴随法和Laplace变换方法求解脱靶量的过程中掩盖了脱靶量表达式含有特殊函数（或正交多项式）等特征。
附（postscript，PS）
- 标题来源。向总博士论文开题定的大概就是这个题目，感觉用在这里很合适，哈哈。
- 问题来源。为了毕业，不得不发表小论文，最简单的就是同一个问题换个方法做一下，所以就从最熟悉的下手，求了比例导引伴随方程的幂级数解。 结果一阶系统的幂级数解系数规律很明显，含有连乘和阶乘，而且在有效导引比是整数时，幂级数解退化为有限项多项式，估计就是Gamma函数之类的特殊函数，当时没在意，文章发表完了，回头仔细研究了一下，主要是看了下特殊函数的书，才发现正交多项式很符合有效导引比为整数时脱靶量中多项式部分的特征，因为区间在 ，很容易锁定Laguerre多项式。所以，开始是从关联Laguerre方程推的，然后才推广合流超几何方程。有效导引比这个参数似乎是某种谱参数。
- 前段时间看到一篇推送，美国一个罪犯，Christopher Havens，在监狱里自学数学，提到了合流超几何函数。果然，学习环境很重要，哈哈。
- 幂级数解一般不被认为是闭形式解，解析解需要特定的上下文，解析的概念在复变函数中常用，解析函数analytic function、全纯函数holomorphic function、整函数entire function等。
- 得到的 解，画出整条曲线的话，需要算多个点，并不一定比Range-Kutta仿真快，特殊函数的实现也不是那么容易， 不同的软件实现可能不同，从C++11开始标准库也有特殊函数了，但是超几何函数并不全，好像没有第二类合流超几何函数。
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