十四年前，我为什么没考上清华

发表于 2021-04-08 更新于 2022-03-25 分类于数学阅读次数：

一直以为我的数学学得很好，其实只是固执地努力和单纯地自作聪明罢了。

前面图中的题目是在我读高三时，06-07年吧，测试卷上的一道题。

图像交点随参数 $a$ 变化情况

这张图就可以直观给出问题的答案。如果你还很闲的话，可以继续看看关于我的故事。

这道题一直在困扰我，时不时想起来，我就琢磨琢磨、比划比划。直到前两天，当我想写一篇关于这道题的博客时，又写写算算一番，没想到很快我就想明白了。

高中时的数学笔记

这张图是高中时的数学笔记，怎么样，是不是很学霸啊，很庆幸从来没给别人看过。现在回过头来看，笔记里记的都是我高中时对数学很浅显的理解，当然也包括这道题。

我记得很清楚，这道题是某一堂课上老师发的测试卷里的，讨论下面两个函数图像的交点个数。

其实，在这之前，我在校门口书店的习题册中见过类似的题目，也是选择题，讨论的是如下两个函数图像的交点个数。题目的选项我不记得了，但是答案出乎我的意料，并没有详细论证过程，却给出了一个反例，即在时，下面两个点都是函数和图像的交点，看到这个特殊的例子我很惊讶，原来这两个函数图像还有不在上的交点啊，至少是违背我的直观认识。

但实际上，讨论函数 - 图像交点与 - 图像交点没有本质区别，所以在课堂测试卷中遇到这道题时，可以想象下我当时的心理活动：好家伙，这道题是不是只有我能做对啊。心里美滋滋的，情不自禁地踮起脚、抖起腿。嗯，好像我当时果断选择了D，哈哈哈哈。

当然，这道题的标准参考答案是A，出题人可能主要想考查对于含有绝对值的函数的图像大致样子的掌握，而忽略了和函数图像的交点的复杂细节。

直观感觉的函数图像大致样子

我的困惑是我没办法证明和函数图像到底有几个交点，底的大小对交点个数的影响，我都无从下手讨论，甚至如我笔记中所记录的，我当时觉得随着的减小趋于零，图像交点的个数会逐渐增加，哈哈。

但是，这个困惑似乎也很容易验证，利用计算机画出不同参数时和函数图像，看一下交点个数变化就行了，我们老师YM确实给我画过，也确实看不出来，当时我也没有真正接触计算机，微机课都是瞎混的，我清楚记得看到ZK在微机课上用百度搜索，而我并不知道什么网络搜索，不知道什么是百度，鼠标、键盘也不敢乱点，生怕点错了用坏了，哈哈。不知道现在微机课还要不要穿鞋套了。

所以，大学第一学期计算机文化基础课中知道MATLAB后，我就立马尝试画和函数图像，嗯，是真的看不出来交点，而且，那时候MATLAB 7吧，机房里的计算机也不行，画出来的图像是真的糙，锯齿清晰。

等到学完微积分，我竟依然没有任何想法，整个本科期间，我经常徘徊在图书馆四层西侧书架，有时候我都在想这个图像交点会不会跟黎曼猜想有关，哈哈。

转折点是在我考研期间，我系统地复习了一遍微积分，也刷了很多题，包括吉米多维奇习题集，其中第370和1544题的思路基本就是为讨论和图像交点而量身定做。但是我却错过了，并没有解出来，为什么呢？在我笔记本里夹了一页当时写写算算的草纸。

考研期间写写算算的草纸

我分明感觉到解决方法就是与这道吉米多维奇习题有关，但是就是没找到。凡事总须研究，才会明白。高中时常遇到求图像交点的问题，我也还记得，可是不甚清楚。我翻开笔记一查，这笔记没有页码，歪歪斜斜的每叶上都写着“解题思路”几个字。我横竖睡不着，仔细看了半夜，才从字缝里看出字来，满本都写着两个字是“幂运算法则”！这次翻出来这个草纸，我头都要笑掉了，原来我那时候搞错了基本的幂指数运算法则。很难想象，我当时脑袋是怎么想的，感觉主要还是没理解解题的套路哈哈。

吉米多维奇习题集第370和1544题是要分析画出下面隐函数表示的图像

而讨论和函数图像交点个数问题，本质上是要讨论下面这个方程

方程和密切相关。

下面还是先完整讨论下最初的问题，即和函数图像交点个数。

方程和表示的函数互为反函数。求和函数图像交点个数，就是求这两个方程解的个数，还是习惯对这两个方程变一下形

多么对称。

下面这一步最关键，就是解题套路： 消去，分离和于等式两边，讨论单调性。

通常取自然对数，因为指数、对数、幂这些运算我都记不住了，

比一下，消去，就得到了

到这一步已经够了，已经分离了和。这个方程等价于。

也可以对中两个方程分别开次根、开次根，即

消去可以得到

然后对这个方程两边同时取次幂就可以得到，应用的时候，还是要取对数，所以直接从讨论。

得到方程，意味着和图像交点，或者这两个方程解一定满足方程。

很显然，方程，即，有平凡解

再结合原来函数方程和，可知，这两个函数图像有一个交点位于直线上，而且是单调增，和都是单调减，所以在直线上这两个函数图像只有一个交点。

所以，问题难在要讨论函数和图像交点不在直线上的情况。这就是要讨论方程的非平凡解，即的解，这说明要讨论下面函数的单调性

这对于高中生来说，也是很简单的了。

显然，当时，单调递减；当时，单调递增。图像如下所示。

$函数 $f(x)=x\ln x$ 的图像$

显然，从图中可以看出只有当时，才存在满足方程。

$x\neq y$，$x\ln x=y\ln y$

而且，，都存在唯一的非平凡的，满足方程，也就是在区间内，由隐函数方程可以确定出非平凡的关于的函数。

$y: x\mapsto y=y(x)$

利用数值求解很容易画出函数的图像，Octave程序和图像如下

n=50;
c=linspace(-0.02,-1/e,n);
f=@(x) x.*log(x)-c;
x=fsolve(f,0.2*ones(1,n));
y=fsolve(f,0.8*ones(1,n));
plot(x,y)
hold on
plot(y,x)

$$x\neq y$，$x\ln x=y\ln y$ 所确定的函数 $y=y(x)$ 的图像$

再结合方程的平凡解，可以给出方程或的图像。如下图所示，开区间和闭区间没有本质区别，补充极限定义即可。

$方程$x\ln x=y\ln y$ 所确定的图像$

由于对称性，如果是方程的非平凡解，也是方程的非平凡解；如果是和图像交点，则也是和图像交点。所以可以只需考虑时方程的非平凡解的情况，由这张图可以直接得到如下关系

如果和图像存在的交点，则由式可得，底满足如下条件

进而，由这张图或条件可以得到，底必须满足如下条件

也就是并不是对于所有，函数和图像都存在的交点。到这里基本可以确认函数和图像交点根据底的不同，只有如下两种情况：

只存在1个交点，位于直线上；
存在3个交点，一个交点位于直线上，另外两个交点不在直线上，但是关于直线对称。

几个细节还需要说明，首先是函数和图像交点个数与底数准确依赖关系。事实上，函数和图像至少有一个交点，位于直线上，所以只需要考虑底数在什么范围内使函数和图像有不在直线上的交点，这样的交点满足和，即这样的交点位于的图像上。所以，问题就转化为在满足的图像约束时，求的取值范围，此时，由式确定，或者直接取对数，求的取值范围：

这里或者由对称性限制在。先按照标准套路走一下程序，把看作是的函数，也是的函数，由确定，所以尝试通过对的导数讨论单调性来确定的取值范围。

求导中会用到关于的导数，很容易得到

印象中，在我读高中时并没有学这种隐函数求导。则对求导，并利用化简可得

显然，导数结果中分母部分的符号很容易确定，只需要讨论分子部分的符号，也就是的取值范围，看起来似乎可以利用某些不等式来确定出的范围，但是我还是没看出来，而且感觉也不是能套用不等式得到的。所以，继续对求导讨论单调性及取值范围：

显然，这个导数分母部分的符号也很容易确定，又要讨论分子部分的符号，即的取值范围，或者的取值范围，哈哈，接着对求导：

哈哈，套路很明显，到这里就需要讨论的取值范围，对继续求导：

哈哈，又要讨论的取值范围，绕回来了。

实际上，利用的图像，可以很容易确定出我们期望的、的取值范围，利用线性规划的思想，数形结合，如下两图所示。

$xy$ 的取值范围

$x+y$ 的取值范围

可以看出，函数应该是凸函数，其二阶导数应该恒为正，如果能确定二阶导数恒为正，那么就可以确定出一阶导数的取值范围，从而就可以确定出前面这些导数的符号，但是写出的二阶导数就会发现又回到需要讨论的符号那一步了。

这些不等式关系可以总结为：
如果与满足则有

这些不等式的等号都是在时取到的。从而很容易得到，当函数和图像有不在直线上的交点时，的范围为

这一点也可以直接利用关系画出关于的函数图像看出。

$a$ 关于 $x$ 的函数图像

那么问题来了，为什么前面通过单纯求导数确定不了、、、这几个函数的单调性和取值范围？应该是前面这几个导数的计算只是利用隐函数方程在形式上求导，并没有深入得到相应与的内部关系，具体就是这张图中在点与处切线斜率关系。所以严格推导的范围还需要一点技巧，就是将与进行参数化，可以得到与之间内部细节关系。具体过程如下^[1]：

考虑满足的与，令

其中参数，代入或可以得到与的参数化表达

则可以参数化为

从这张图中可以得到如下几个极限

只要证明是单调递减函数就可以得到的取值范围。关于的导数为

其中

这一步还是需要一定的代数运算能力，如果在高中考场上，我肯定是推不出来的，我高中的某一任同桌应该可以。到这里只需要讨论的符号即可，这就是基本操作了，对一直求导，讨论单调性，到三阶导数就可以看出来了，在内是负的，所以是单调递减的。

还有个细节问题是，方程和是否存在多组不同的的解，即对同样的参数，是否存在使下面四个点都是函数和图像的交点。

答案是不存在的，也就是这两个函数图像最多可以有3个交点。首先可以确定是的函数，然后只需要证明关于在区间上是单调的即可，直观上从此图中就可以看出，严格的推导还是要利用前面的参数化表达，反正我是没推。

总结一下

当时，和的图像有3个交点；
当时，和的图像有1个交点。

其实这算是典型的非线性系统分岔现象，考虑如下动力学系统平衡点的个数及稳定性随着参数的变化

$$a=e^{-2}$ 时平衡点$ $$a=e^{-e}$ 时平衡点$ $$a=e^{-3}$ 时平衡点$

发现我又憨了，画出的曲线，很明显可以看出函数和图像的交点个数，这么简单的思路，之前应该画过吧，可能因为没有从根本上解决这个问题，没在意吧。

系统分岔图如下，分岔点为。

分岔图分岔图横着拉长

这个应该也算是超临界叉型分岔吧，只是这分岔图与想象的差距挺大，大概是脑海中高估了的值吧，这个值很接近。

下面是在不同的参数时，方程、和的图像交点情况，这好像也能看出来啊。

$$a=e^{-4}$ 时三方程图像$ $$a=e^{-3}$ 时三方程图像$ $a=1/16$ 时三方程图像 $$a=e^{-e}$ 时三方程图像$ $$a=e^{-2}$ 时三方程图像$ $$a=e^{-1}$ 时三方程图像$

回过头来看最初的选择题，感觉好像并不难，但过了十四年我才想明白，数学的基本技艺太差了，不过我也算是倔强、执着的青铜。 这也说明我不喜欢交流、沟通。

比较与的大小，更一般的，比较与的大小
与图像交点个数
为正实数，则如下迭代指数或无穷指数收敛区间

这几道题，从初中到高中到大学，都与方程和有关。 Bernoulli和Euler都对其有深入研究，其中满足方程的解组称为Bernoulli对，满足方程的解组称为Euler对。更多关于这两个方程的讨论，可以参考最后引用的文献^[1] ^[2] ^[3]。

现在还是对 - 这几个不等式心心念念，看起来是可以利用均值不等式、凸函数相关的不等式或者什么不等式直接得到，但是就是想不出。
如果实数与，，分别满足

其中

分别求和的取值范围。这类问题都可以用这种参数化方式来求解？参数化也并不是那么容易就能想到，而且对代数运算能力要求较高。

$f(x)=(x-1)x^2$ 图像 $$f(x)=x(x-1)^{\Large \frac{1}{3}}$ 图像$ $$f(x)=(x-1)e^{-\Large \frac{1}{x}}$ 图像$ $$f(x)=e^{-\Large \frac{1}{x}} \ln x$ 图像$

更新 2021-04-23

原来 - 这类问题是所谓的极值点偏移问题，还真可以用均值不等式来得到结果，不过要用到所谓的对数平均不等式。这类极值点偏移题目还多次出现在高考中，之前我还觉得最初的图像交点问题对于高中生有点超纲，现在来看这题属于常规操作了。

搜索过程中发现网上大家总结得太好了，套路清晰明了，还有人总结了超长的二元平均不等式链，大家都是人才啊，我原来连小镇做题家可能都算不上，一时间也弄不清楚现在高考是太难了还是太简单了，哈哈。

你看，那些大城市的中学招聘老师都要求博士毕业，哈哈。

毕竟，做题，我们是专业的。

那么问题来了，我到底为什么没考上清华呢？笔记中我把“规划”错写为“规化”了，哈哈。

“我的数学学得很好”

“我把数学学得很好”

“数学这门课我学得很好”

“对于数学这一科，我学得很好”

……

烦死了。

关注微信公众号，订阅更新

1.Joel Anderson. Iterated Exponentials. The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 8, pp. 668-679, 2004 ↩︎
2.R. Arthur Knoebel. Exponentials Reiterated. The American Mathematical Monthly, Vol. 88, No. 4, pp. 235-252, 1981 ↩︎
3.P. J. Rippon. Infinite Exponentials. The Mathematical Gazette, Vol. 67, No. 441, pp. 189-196, 1983 ↩︎