2021高考数学中的函数大题

发表于 更新于 分类于 阅读次数：

没错，就是专门开一帖来嘚瑟嘚瑟，上一篇博客 十四年前，我为什么没考上清华，无意中押中了今年高考数学 新高考I卷 和 全国甲卷 的最后一道大题，哎，就是这么随意。

  • 全国甲卷 第21题
    已知 且 ，函数 ，
    1. 当 时，求 的单调区间；
    2. 若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围。
  • 新高考I卷 第22题
    已知函数 ，
    1. 讨论 单调性；
    2. 设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明 。

花了一天时间，把今年的几套高考数学试卷过了一遍，哎，就是这么闲。 虽然很多题都不会，但是看到上面这两道大题，瞬间就亲切起来了。

全国甲卷 第21题

全国甲卷 第21题 实际上等价于： 方程 有且只有两个不同的根，求 的取值范围。

把方程 两边同时开 次根，或者同时取对数再除以 ，就可以得到 这个方程有两个不同的根，即存在 ，满足 实际上就是要讨论函数 的单调性， 的取值范围就是使方程 有两个根时根 的区间范围。

函数 的图像如下图。

方程 所表示的曲线如下图，可以看出当 时，曲线上有两个 与之对应。

实际上方程 就是 上一篇博客 中提到的方程 ， 但没有详细讨论这个方程，而是主要考虑了与之密切相关的方程 ，分析的方法和思路是类似的，而且还在博客最后给出了思考题：讨论 与 图像交点个数。这不能说与全国甲卷 第21题完全一样，只能说是一模一样。

新高考I卷 第22题

新高考I卷 第22题 实际上就是所谓的 极值点偏移问题，在 上一篇博客 中也遇到了类似的问题，而且讨论的函数表达式很接近，用到的方法也可以用于求解这道高考题。

首先把题目中的等式 进行变形，考虑到所给的函数以及要证明的不等式中表达式形式，很容易想到，对等式两边同时除以 ，再移项整理可得到

令 ，，则原问题就等价于：

，且 ，证明 。

在 上一篇博客 中，遇到的是：

，且 ，求 的范围。

只是把讨论的函数从 变为 ，这两个函数也是有点类似的，而且对于这里求解的具体问题，这两个函数本质上是相同的，因为

哈哈，惊不惊喜，这回我说一模一样，没问题吧。

标准的求解方法搜索 极值点偏移问题，有总结得很详细的标准套路，个人还是喜欢上一篇博客 中用到的稍微超纲的参数化解法。

不妨设 ，引入参数 ，令 ，，将其代入 中，可以解得 ， 关于参数 的表达式为 这就是 参数化表达式乘以了系数 。令 ，则 剩下只需要讨论 的值域，通过不断对需要判断符号的表达式求导可知， 关于 是单调递增的， 这里有点超纲的是过程中可能用到的下面几个极限： 这几个极限可以用洛必达法则得到，这个好像不在高中大纲内，一般老师都会讲，只让用在选择题、填空题，不让用在简答题中。

函数的零点或图像的交点问题

这些问题都属于函数的零点或者图像的交点问题，基本上就是要用函数的导数讨论单调性。 2021高考数学其他卷中的零点或交点问题例子：

  • 北京卷 填空题第15题
    已知函数 ，给出下列四个结论：
    1.若 ，则 有两个零点；
    2.，使得 有一个零点；
    3.，使得 有三个零点；
    4.，使得 有三个零点.
    以上正确结论的序号是 。

  • 浙江卷 第22题
    设 ， 为实数，且 ，函数 ，
    3. 当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，，满足

现在高考居然有这么多套卷子，难为出题老师了， 所以这种在等价变形上创新花样的题目以后还会有的。

你看，那些大城市的中学招聘老师都要求博士毕业，哈哈。

PS

“哎～就是玩儿”

“诶～就是玩儿”

“唉～就是玩儿”

……

烦死了，到底哪个是对的，玩也顺便查下嘛。

关注微信公众号，订阅更新