初中平面几何网红题

发表于 2022-03-22 更新于 2022-03-25 分类于数学阅读次数：

无聊时，我一般会刷浏览器推荐，看看新闻热搜，遇到这种初中平面几何问题，我也爱动动脑比划比划，这大数据还总推送类似的信息。

最初刷到上图中上面的题，好久也想不出怎么用初中的方法求解，看了答案也只觉得题目特殊、解答巧妙。直到刷到上图中下面那道题，嗯，有点意思，虽然还是不知道怎么求解，但我在想是否有通用的解法。

这类问题可以描述为

问题 1
给定，记其内角分别为、、，延长至，使，连接，求。

其实这类问题难点在于初中，当上了高中学过三角函数、会用计算机，很容易得到数值结果，事实上，可由下式确定

如果仅限初中求解，保留条件，则、、、需要满足一定特殊性，至少得是整数度数吧。

所以，就用程序搜一下满足 问题 1 条件的所有整数度数解组。

using DelimitedFiles

function findIntDABC()
D = 1:89
DABC = Matrix(undef,0,4)
for k in 1:89
    B = (D[k]+1):179
    C = 1:179
    for i in 1:(179-D[k])
        for j in 1:179
            val = cotd(D[k]) - cotd(B[i]) - cscd(C[j])
            A = 180-B[i]-C[j]
            if abs(val) <= 1.0e-10 && A>0
                DABC = [DABC;[D[k] A B[i] C[j]]]
            end
        end
    end
end
writedlm("./DABC.txt", DABC)
return DABC
end

搜索结果如下问题 1 所有整数度数解组

最开始只搜了时的解组（表中红色背景），没想到有这么多组解，也看不出什么规律，尝试用初中方法求解或证明，有的简单，有的也想不出。寻思看一下是其它整数度数时的解组情况，当输出所有整数度数解组后，我就知道，嗯，有门儿，这个表有明显的规律：

当时， 问题 1 存在的整数度数解组；
当且为偶数度数时，问题 1 存在、的整数度数解组；
当时， 问题 1 存在特殊的整数度数解组。

这里把前两种情况（表中灰白背景）称为平凡解，有简单的通用证明方法：

问题 1 的两种平凡解

容易看出两种平凡解对于非整数度数也是成立的，而且都显含两个等腰三角形。平凡解虽然简单，但是很重要，可以用在第三种情况特殊整数度数解的证明中。

最关心的就是这第三种特殊情况，称为特解问题，对应表中彩色背景的数据。为了方便，这里把所有特解情况画出来，并编号如下图

问题 1 所有特殊的整数度数解组

经过十几天的不断摸索、尝试求解，还是发现了这些特殊情况之间的共同点或关系：

角度特征。这些特解中的角度，即、、的内角，都是、或的整数倍；特别的，所有特解中都含有角，这也是可以用相对通用的方法求解所有特解问题的切入点。
对称性。每一种特解情形都对应着一个与之部分对称的另一特解情形，对称轴为点到的高，例如：

对称的特解

特解问题的通用解题思路
尝试利用含有或角的三角形的外心；或者说，以或角的对边为边，向内或外作正三角形。

作为例子，下面具体求解 D30-C40 和 D30-C96 两个特解问题：

D30-C40 问题求解

首先猜，
以为边，作正三角形，
连接。
要证明点是的外心，
只需要证明，
只需要求得。
容易解出，这很重要，
又，
仔细观察发现，
已经转化为的第二类平凡解问题，
具体求解参考平凡解的证明方法。
至此，可以得到是的外心，
再由圆心角与圆周角关系，
可以得到。

D30-C96 问题求解

首先猜，
以为边，作正三角形，
连接、。
要证明点是的外心，
只需要证明，
只需要求得。
因为，
容易解出，这很重要，
又，
仔细观察发现，
已经转化为的第二类平凡解问题，
具体求解参考平凡解的证明方法。
至此，可得是外心，
再由圆心角与圆周角关系，
可得。

考虑 问题 1 相关的逆问题，可以得到一系列问题，这类问题可以进一步抽象总结如下：

问题 1 相关问题
平面四点、、、，在延长线上，已知、和三个条件中任意两个，求或证第三个。当然，这里、是从这张表中选择。

还有几类与 问题 1 本质上等价的变形问题，就不一一总结了，直接看例子吧：

问题 1 的几种等价变形问题

问题 1 的特解问题讨论到这里还没有结束，前面给出的 特解问题的通用解题思路，也就是前面两个具体求解例子中用到的方法并不能直接适用于所有特解问题，比如 D30-C84 和 D30-C12：

D30-C84 和 D30-C12 特解问题

但是，可以利用特解问题的对称性，转化为求解其对称问题的相关问题，比如 D30-C84 的对称问题是 D30-C96，从而间接利用通用解题思路，文末会附上所有特解问题的辅助线图。

在上图中，对于特解问题 D30-C84 和 D30-C12，作出正三角形，点分明就是的外心，却不能直接得到，原因在于并不能轻易解出，如果解出，就会发现又回到平凡解形式的 问题 1。所以，把上图中求解部分分离出来，可以得到如下一类题目：

D30-C84 和 D30-C12 引出问题

这属于另一类更广泛的网红题，其典型代表是如下题目，链接在这里和这里。

又一类网红题

这类问题可以从不同角度来理解，通常可以概括为如下问题：

问题 2
平面四点、、、，以它们为顶点的四个三角形、、和，已知其中任意两个三角形，求另外两个三角形。

同样，这个问题很容易得到数值结果，实际上，已知的两个三角形一定有公共边，不妨设这条公共边为，另外两个点分别为、，已知、，求和各个内角度数。只要求得和之间夹角，就可以得到所有三角形的内角。

以为原点、为轴，建立直角坐标系，、、、与轴夹角分别为、、、，取值范围，设为单位长度，则利用直线交点易得到点、的坐标:

则和之间夹角为

同样，如果仅限初中求解，则 问题 2 中四个三角形也需要一定特殊性，至少所有内角得是整数度数吧。没错，用程序搜了，但是 问题 2 就没有 问题 1 那么简单了， 问题 2 的整数度数解太多了。四点共圆，对称四边形，三角形顶点及其外心、内心、垂心或旁心等等，平面上的这种四点组合都属于平凡解了，光是排除平凡解就很麻烦，而且非平凡解似乎也有很多。

虽然不能穷尽 问题 2 的所有整数度数非平凡解，也就没有找到通用的求解方法，但是可以尝试的解题思路还是有的，比如前面 问题 1 的通用解题思路，即利用含有或角的三角形的外心，因为整数度数非平凡解的 问题 2 中各个三角形内角也大多是、或的整数倍，很有可能含有或角，比如前面这两道网红题，求解的辅助线如下图：

又一类网红题的辅助线

这里辅助线都是利用含有角的三角形的外心，最上面的辅助线需要先猜到所求的，以其对边为边作正三角形，顶点正好落在上，顺着这个思路很容易确定点的位置并证明是的外心；这题也可以利用已知含有角的的外心，也就是中间这个图的辅助线，还需要确定在中存在这样的特殊点。最下图中点是的外心，容易证明四边形是菱形。

从前面这两道网红题中可以总结出两个特殊模型，一个是三条边相等的等腰梯形，，以为边作正三角形，可以得到中的特殊点，，，，这对于的都成立的。

$$\angle B = 2\angle C$ 时三角形中一个特殊点$

另一个特殊模型就是这两道网红题中第二题，菱形，以为边作正三角形，可以得到中的特殊点，，，这对于的等腰都成立。

等腰三角形中一个特殊点

这里引出了对 问题 2 的整数度数解的另一种理解角度：给定一个内角均为整数度数的，在平面内寻找点，使得、、与各边的夹角都是整数度数。这里把点称为的一个整数度数分割点。首先，可以找到针对所有都存在的点，比如外心、内心、垂心、旁心、外接圆上的点、对称轴上的点等等。而通常要找的是与具体的相关的那些特殊点。

如果内角均为整数度数，则平面内点使得、、与各边的夹角都是整数度数的充要条件是、、均是整数度数。当点在的内部时，利用正弦定理，这三个角度有如下简单关系，其中、、。

对称点

关系具有对称性，意思是，对于内部的任意点，记、、，都存在对应的点，使得、、。这个性质可以总结为如下定理：

定理 1
给定及平面上任意点，则直线、、分别关于、、的角平分线的对称直线共点，记为点。并称点和点是广义对称的。

这个定理可以利用三角形相似来证明，且有如下关系

其实，定理 1 和关系式对于任意点，无论是在的内部还是外部，都成立。容易看出，三角形的外心和垂心是广义对称的，内心、旁心的广义对称点是自身。利用关系式可以搜索给定内部所有整数度数分割点，也就是使式成立的所有整数度数解。有趣的是，对于正，其内部只有两个本质上不同的整数度数分割点，就是忽略对称、旋转变换等价点，当然也不考虑对称轴上的点。

正三角形内部整数度数分割点

其实上图中两个点就是 定理 1 中的两个相关点。证明正中存在这样的点，方法可以说有很多种，但是限于初中方法求解的话并不容易，下面是一个不太优雅的证明方法

正三角形内部整数度数分割点一种证明方法

显然，
利用前面二倍角特殊模型，
在中可找到特殊点，
得到是 --，
仍是前面的二倍角特殊模型，
所以在中可找到点，
注意中所有角度，
，
是的对称轴，
可证明，
从而得到。

证明了正中存在这样的点，则前面D30-C84 和 D30-C12 引出问题也就解决了。正三角形内部整数度数分割点是很特殊的点，里面的角度都是的整数倍，这些角度的正余弦都可以用根式表达，、、之间长度关系也是特殊的，以、、为边的三角形其内角都是的整数倍，这只需将绕点逆时针旋转即可看出。所以D30-C84 和 D30-C12 引出问题中两道题目其实是同一个题目。

在前面正三角形内部整数度数分割点一种证明方法中两次利用二倍角特殊模型，如果能够熟练记住和证明一些特殊三角形中整数度数分割点，对于 问题 2 和前面的 问题 1 很有帮助，可以找到很多求解方法。对于内角为 -- 的三角形，用程序搜了一下，其内部共有25个整数度数分割点。对于正三角形，本质上，其内部只有两个，或者说一个，整数度数分割点，而这个点就与 问题 1 多个特解模型密切相关。

问题 2 的相关问题也很多，利用四点共圆、角平分线的对称直线共点等方法都可以构造相关问题，这些方法具有保持四点六线两两夹角仍为整数度数的特点。还是以经典网红题为例：

经典网红题

1. 四点共圆构造相关问题
任选一个三角形，比如，作其外接圆，交、、分别于点、、，则可以构造出下面三个相关问题。类似的，选择其它三角形也可构造相关问题，当然还可以继续对得到的问题利用四点共圆构造相关问题，所以，从一个问题出发瞬间可以构造出很多个相关问题，不过是有限个数的，因为所有整数度数角度的四点六线问题的个数有限，也就是说，利用四点共圆构造，从一个整数度数角度的四点六线问题可以得到一个相关问题集合，所有四点六线问题可以分为几个不相交的子集，每个子集包含一个基础问题及其所有相关问题，这样所有整数度数角度四点六线问题可以由几个基础问题来代表。