支撑点竖直振动的倒立摆

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视频中的倒立摆问题，印象里还是第一次见到，教科书中经典的倒立摆是铰链连接到一个只是在水平方向位移可控制的小车上，是一个典型的非线性控制问题。 而视频中支撑点竖直振动的倒立摆则属于非线性动力学稳定性分析问题，感觉是一个很简单但又有点违背直觉的现象， 当我想仿真一下写篇博客时，发现不太会列这个系统的动力学方程， 读完研究生，理论力学只剩下牛顿第二定律了。

如下图，长为 、质量为 的均质细杆与竖直振动的基座通过铰链连接于点 ， 点 的运动为已知的竖直方向的正弦振动： 其中 为振幅， 为角频率， 为频率。杆与竖直方向夹角为 。

动量矩定理

铰接点 是强迫振动，不关心约束反力，选择动点 作为矩心， 则系统动量相对于矩心 的动量矩为 其中 。 系统合外力对矩心 的力矩为

动量矩定理 代入 、 可得系统的动力学方程 其中 。

方程 正好就是非惯性系下的动量矩定理的形式 其中 是牵连惯性力对矩心 的矩，这里非惯性系是随着点 同步竖直振动的坐标系。

拉格朗日方程

不考虑铰链约束反力，用拉格朗日方程应该是更直接的。

系统动能

系统势能

拉格朗日函数

拉格朗日方程 由此方程同样可以得到系统的动力学方程 。

将各变量参数代入系统的动力学方程 ，整理可以得到如下非线性微分方程

开头的动图是在 、 、 、、 、 条件下仿真结果25倍慢放得到的。

支撑点竖直振动的倒立摆也被称为 Kapitza摆， 很多文献讨论过该非线性系统在平衡点的稳定性，有很多有趣的性质[1] [2] [3]。

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  1. 1.Maxim Vedenyov. Inverted Pendulum with Oscillated Base, MATLAB Central File Exchange. Retrieved April 12, 2022. ↩︎
  2. 2.C. Marcotte, J. Aguilar, G. Lee and B. Suri. The Inverted Pendulum. 2011. ↩︎
  3. 3.J. A. Blackburn, H. J. T. Smith, N. Gronbech-Jensen. Stability and Hopf Bifurcations in an Inverted Pendulum, American Journal of Physics. 1992. ↩︎